El rincón de la matemática

Conjuntos Numéricos.Operaciones en R y en Q. (Suma,Resta,Multiplicación y División):

Antes que nada debemos definir que es un conjunto esto en matemáticas es una agrupación de objetos,que pueden ser personas,colores,letras,figuras,etc. Cada uno de los objetos es un miembro del conjunto.Por ejemplo el conjunto del zoológico es:

A: (Elefante,León,Mono;Jirafa)

Podemos decir que existen conjuntos infinitos y finitos,el conjunto de números naturales es infinito pero el conjunto de planetas es finito dado de que existen solo 8 planetas

Existe el Conjunto vacío que no posee ningún elemento y denota por  ∅ simplemente {}

                      Operaciones con Conjuntos

Ahora bien definiremos que es un conjunto numérico que son colecciones o agrupaciones de números con distintas características entre los mas comunes tenemos los Números Naturales,Enteros,Racionales,Irracionales y Reales.

El primer conjunto numérico manejado fue el de los números naturales notado por los matemáticos así:

N:(1,2,3,4,5)

Operaciones en R:

Es la unión de los números racionales e irracionales y a partir de allí  se definen los números reales 

Adición de números reales:(Para sumar con el mismo signo ambos negativos o ambos positivos).Se debe sumar los valores valores absolutos y colocar el mismo signo antes de la suma.La suma de dos números positivos sera positiva,y la de dos números negativos sera negativa.                                                                    Ejemplo:-3+(-5), como ambos números se suman son negativos,la suma sera negativa.

Para determinar la suma,los valores absolutos de estos números y coloque un signo negativo antes del valor

-3=3 -5=5

Ahora sume los valores absolutos 

-3+(-5)=3+5=8

Dado que ambos son negativos debe quedar así 

-3+(-5)=-8

Para sumar con signos diferentes:Se resta el valor absoluto menor del valor absoluto mayor.La suma de un numero negativo y uno positivo puede ser negativa;positiva o simplemente 0,el signo de la respuesta sera el mismo signo del numero con mayor valor absoluto.

Ejemplo:3+(-5)

-Como son signos diferentes restamos el valor absoluto menor al valor absoluto mayor.Primero tomamos cada valor absoluto,ahora determinemos la diferencia 5-3=2.El numero -5 tiene un valor absoluto mayor al 3,por lo que la suma es negativa.

3+(-5)=-2

Resta de números reales:Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por medio de la siguiente regla: 

a-b=a+(-b)

Para restar b de a,sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a)

Ejemplo:

5-3 significa 5-(+3).Para restar 5-3,sume el opuesto de +3,que es -2,a 5 

5-3=5+(-3)=-2

Multiplicación de números reales:Para multiplicar dos números con signos iguales;ambos positivos o ambos negativos,multiplique sus valores absolutos.La respuesta es positiva.Para multiplicar dos números con signos diferentes,uno positivo y otro negativo,multiplique sus valores absolutos.La respuesta es negativa 

Ejemplo:

(-9)(-4)=36 Tienen signos iguales,ambos negativos.

Cuando se multiplican mas de dos números,el producto sera negativo cuando exista un numero par de números negativos.Propiedad del cero en la multiplicación 

Para cualquier numero a,

a*0=0*a=0=0

División de números reales:Para dividir dos números con signos iguales,ambos positivos o ambos negativos,divida sus valores absolutos.La respuesta es positiva.Para dividir dos números con signos diferentes,uno positivo y otro negativo,divida sus valores absolutos.La respuesta es negativa.

Ejemplo:

-24/4

-24/4=6 Los números tienen diferentes signos

-55/-5

-55/-5=-11 Los números tienen signos iguales

              Propiedades de números reales

Expresiones Algebraicas:

Puede ser una combinación de letras, números,y signos de operaciones.Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables dado que su valor puede variar e incógnita por que se desconoce su valor.

Tipos:

Monomios:Un solo miembro

Binomio: Dos miembros

Trinomio:Tres miembros

Dos expresiones algebraicas separadas por un signo = se llama ecuación   

Polinomio:

Es una clase de expresión algebraica,en la cual existen una o mas variables o indeterminadas,que no actúan como divisor.Existen distintos tipos de polinomios:monomio,binomio,trinomio y cuadrinomio Un polinomio es una combinación de números llamados coeficientes y letras que representan las variables o indeterminadas,unidas por medio de operaciones matemáticas,como suma,resta,multiplicación y división. También las operaciones de radicacion  y potenciacion tienen lugar en los polinomios,pero no afectan las variables solo los coeficientes.La suma y resta de polinomios solo se puede realizar con términos semejantes,el grado del polinomio es el mayor exponente que posee la variable.El coeficiente principal es el numero que afecta la variable de mayor exponente,se dice que el polinomio esta ordenado si sus términos están organizados en relación con los exponentes de manera creciente o decreciente.Se considera que el polinomio esta completo cuando posee todas las potencias de la variable decrecientes del mayor exponente o grado;si el polinomio no esta completo,se puede completar como por ejemplo se puede incluir el termino de grado "0" y para no alterar el valor el coeficiente agregado debe ser 0.

                 Suma De Polinomio:Para sumar con el mismo grado 

        

 P(x) = 2x³ + 5x − 3      Q(x) = 4x − 3x² + 2x³ 

Ordenamos los polinomios si no lo están

 Q(x) = 2x ³− 3x² + 4x

P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x²+ 4x)

Sumamos los monomios semejantes

(x) + Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3

También podemos escribirlos uno debajo del otro de forma que los monomios queden en columnas y se pueden sumar

P(x) = 7x⁴ + 4x² + 7x + 2       Q(x) = 6x³ + 8x +3

P(x) + Q(x) = 7x⁴ + 6x³ + 4x² + 15x + 5

Resta De Polinomios:Esta consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x² + x − 3

 Clasificación:

Polinomio nulo:Es aquel que tiene todos los coeficientes nulos

Ejemplo: P(x) = 0x² + 0x + 0

Polinomio homogéneo:Es aquel en el que todos sus términos son del mismo grado

Ejemplo:  P(x) = 2x² + 3xy

Polinomio heterogéneos:Es aquel en el que no todos sus términos son del mismo grado

Ejemplo: P(x) = 2x³ + 3x² − 3

Polinomio completo:Es aquel que tiene todos los términos desde el independiente hasta el mayor grado

Ejemplo: P(x) = 2x³ + 3x² + 5x − 3

Polinomio incompleto:Es aquel que no tiene todos los términos desde el independiente hasta el de mayor grado

Ejemplo: P(x) = 2x³ + 5x − 3

               

                  Producto Notable:

Es el nombre que recibe la multiplicación con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas,cuyo resultado se puede escribir mediante simples inspección sin verificar la multiplicación Su aplicación simplifica la resolución de multiplicaciones.Cada producto notable corresponde a una formula de factorizacion. Por ejemplo,la factorizacion de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de binomios conjugados y recíprocamente.

Ejemplos de productos notables:

Binomio de suma al cuadrado:Es igual al cuadrado del primer termino mas el doble producto del primero por el segundo mas el cuadrado segundo

(a + b)² = a² + 2 · a · b + b²

(x + 3)² = x ² + 2 · x ·3 + 3 ² = x ² + 6 x + 9

Binomio del resta al cuadrado:Es igual al cuadrado del primer termino menos el doble producto del primero por el segundo mas el cuadrado segundo

(a − b)² = a² − 2 · a · b + b²

(2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3 ² = 4x² − 12 x + 9

Suma por diferencia:Es igual a la diferencia de cuadrados.

(a + b) · (a − b) = a² − b²

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)² − 5² = 4x² − 25

Binomio al cubo:Es igual al cubo del primero mas el triple del cuadrado del primero por el segundo,mas el triple del primero por el cuadrado del segundo mas el cubo del segundo.

(a + b)³ = a³ + 3 · a² · b + 3 · a · b² + b³

(x + 3)³ = x ³ + 3 · x² · 3 + 3 · x· 3² + 3³ =

= x ³ + 9x² + 27x + 27

Binomio de resta al cubo:Es igual al cubo del primero menos el triple del cuadrado del primero por el segundo,menos  el triple del primero por el cuadrado del segundo menos el cubo del segundo.

(a − b)³ = a³ − 3 · a² · b + 3 · a · b² − b³

(2x - 3)³ = (2x)³ - 3 · (2x)² ·3 + 3 · 2x· 3² - 3³ =

= 8x ³ - 36 x² + 54 x - 27

Trinomio al cuadrado:Es igual al cuadrado del primero mas el cuadrado del segundo,mas el cuadrado del tercero,mas el doble del primero por el segundo,mas el doble del primero por el tercero,mas el doble del segundo por el tercero.

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x² − x + 1)² =

= (x²)² + (−x)² + 1² +2 · x² · (−x) + 2 x² · 1 + 2 · (−x) · 1 =

= x⁴ + x² + 1 − 2x³ + 2x² − 2x =

= x⁴ − 2x³ + 3x² − 2x + 1

Suma de cubos:

³ + b³ = (a + b) · (a² − ab + b²)

8x³ + 27 = (2x + 3) (4x² - 6x + 9)

Diferencia de cubos:

a³ − b³ = (a − b) · (a² + ab + b²)

8x³ − 27 = (2x − 3) (4x² + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un termino en común:

 (x + a) (x + b) = x² + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x² + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x² + 5x + 6

Cocientes notables:

Binomio al cuadrado

Binomio con un termino común

 Trinomio al cuadrado

Descomposición volumetrica de un binomio al cubo 

Factorizacion de polinomios: Es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática puede ser una suma,polinomio o matriz en forma de producto

Factorizacion de un polinomio de grado superior a dos:Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras. 

Sacar el factor comun:

Es aplicar la propiedad distributiva de multiplicacion respecto a la suma.

Aplicamos la propiedad distributiva

Si se trata de una diferencia de cuadrados es igual a la suma por diferencia

Radicacion:Es encontrar la raíz de un numero  la cual elevada a la correspondiente potencia de como resultado el numero inicial.Es inversa a la potenciacion

Propiedades:Como se indica con la igualdad de la raíz   la radicacion es otra forma de expresar la potenciacion .Para que las propiedades se cumplan se exige que el radicando sea positivo

Raíz de un producto:

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores nombrados anteriormente.

Ejemplo

•  =  = 

Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

Raíz de un cociente:

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

 =

Raíz de una raiz:

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.

 = 

Potencia de una raíz:

Para calcular la potencia de una raíz se eleva el radicando a esa potencia.

 

Ecuaciones e Inecuaciones: Son expresiones matemáticas que representan problemas reales. En las ecuaciones de segundo son 2 valores en la de tercer grado 3 y la de cuarto grado 4,en las inecuaciones se usan símbolos mayor que menor que.Son menos concretas las soluciones pueden ser infinitas.

Ecuaciones de primer grado:

Es aquella que involucra solo sumas y restas de una variable a la primera potencia.

Ecuacion de segundo grado:Es aquella que tiene una incognita elevada al cuadrado.

Inecuacion de segundo grado:Se expresa a través de cualquier de las siguientes desigualdades a,b,c,números reales .

 Inecuaciones de tercer grado:De tercer grado  o cubica cuando el mayor exponente es 3.

Representación:

Ecuación de primer grado

Ecuación de segundo grado

 Inecuacion

 Inecuacion en la recta